本記事はQrunchからの転載です。

関数が上に凸であることの必要十分条件はヘッセ行列が半負定値であることです。ネット上だと日本語でまとまっている文献があんまりないかもと思ったので、今回はこの証明をまとめます。 なお、関数が下に凸のときにはヘッセ行列は半正定値となります。上に凸の定義を使っているところを下に凸の定義に置き換え、正定値を負定値に置き換えれば、同じ議論が可能です。 また出てくる関数$f$は暗黙的に定義域で2階微分可能としています。